Empezar a + verbo: start o begin

«Empezar a» → start o begin, y detrás vale to + verbo o -ing indistintamente:

• Empezó a llover → It started to rain / It started raining. Las dos son correctas.

Begin es el mismo verbo en un tono más cuidado: Empecemos → Let's begin.

Lo que sí conviene distinguir

• Empezar a hacer algo → start + verbo.
• Empezar POR algo (el punto de partida) → start with: Empecemos por el principio → Let's start with the beginning.
• «Para empezar», como muletilla → to begin with.

Y su pareja, «dejar de» → stop + -ing: ahí sí cambia el significado según lo que pongas detrás, lo tienes entero en su propia ficha.